حل مجانبی معادله شرودینگر پتانسیل نوسانگر هارمونیک کوانتومی

این مقاله قسمت 3 از مجموعه مقالاتی است که من در مورد نوسانگر هارمونیک کوانتومی نوشتم. اگر نخوانده اید بخش 1: مقدمه ای بر نوسانگر هارمونیک کوانتومی و قسمت 2: معادله شرودینگر با عبارت های بی بعد، پس نمی توانید بفهمید که من در این مقاله چه چیزی را توضیح می دهم، بنابراین خواندن این مقالات ضروری است. همچنین، این مقاله کمی فنی و بسیار ریاضی است، بنابراین داشتن دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال و حل معادلات یک مهارت ضروری برای ادامه کار است.

خوب پس… بیایید شروع کنیم و جانور را اهلی کنیم…

در مقاله قبلی من در مورد معادله شرودینگر با عبارت های بدون بعد، به یک معادله زیبا رسیدیم که معادله شرودینگر با دو متغیر بی بعد است (نگاه کنید به معادله 11 در مقاله قسمت 2 من).

ما در اینجا از این معادله استفاده خواهیم کرد.

وظیفه ما حل این معادله برای ψ(ξ) و سپس با جایگزینی راه حل را به فضای x برگردانید،

ξ = αایکس (1)

در این مقاله از روش مجانبی برای یافتن راه حل استفاده خواهیم کرد. در مقاله بعدی ما یک راه حل سریال کلی را با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار خواهیم داد برای این مشکل سپس بحث خواهیم کرد ویژگی های تابع موج در مقاله من در مورد چند جمله ای های هرمیتی و توابع موج نوسان ساز هارمونیک کوانتومی.

اگر به معادله (11) مقاله قبل دقت کنید، متوجه خواهید شد ψ(ξ) به صفر نزدیک می شود ξ یا x (از معادله 1) به ±∞ تمایل دارد. این منجر به تشکیل یک شکل مجانبی از
ψ. به این ترتیب، می‌توانیم عبارتی را پیدا کنیم که راه‌حل مقادیر بزرگ را به ما بدهد ξ، یعنی ξ —>±∞.
مشکل پس از آن برای یافتن راه حلی برای مقادیر کوچک کاهش می یابد ξ به راه حل مجانبی پیوند زده شود تا راه حلی پیدا شود که برای همه مقادیر معتبر باشد ξ. این در مقاله راه حل سریال بعدی من انجام خواهد شد.

در حال حاضر، برای ایجاد یک راه حل مجانبی برای ψمعادله 11 را از آخرین مقاله وقتی بگیرید ξ بزرگ است. به این ترتیب ما فقط آن را کشف خواهیم کرد ξ² بزرگ است و مسلط خواهد شدبه طوری که شرودینگر معادله خواهد شد

ه²ψ / هξ² ~ ξ²ψ (2)

اکنون می توانیم یک راه حل آزمایشی برای معادله بالا فرض کنیم،

ψ(ξ) ~ یک اکسپ(βξ‌) (3)

جایی که β و n ناشناخته هستند و باید مقادیر آنها را تعیین کنیم.

بنابراین، اکنون با متمایز کردن راه حل آزمایشی، دریافت می کنیم،

ه²ψ / هξ² = [n² β² ξ²ⁿ⁻² + n(n–1) β ξⁿ⁻²] ψ(ξ) (4)

بنابراین، پس از جایگزینی این راه حل، معادله 4، به معادله 2، دریافت می کنیم:

n² β² ξ²‌² + n(n–1) β ξ‌² ~ ξ² (5) `

از معادله 3، که راه حل آزمایشی ما است، می توانیم آن را ببینیم n باید یک مقدار مثبت به عنوان داشته باشد ξ به ±∞ تمایل دارد. بنابراین، برای مقدار زیادی از ترم اول از سمت چپ تسلط خواهد داشتو بدین ترتیب بدست می آوریم

n² β² ξ²‌² ~ ξ² (6)

مقایسه، 2n–2 = 2، می گیریم n=2. همچنین در مقایسه، n²β² = 1 و از آنجایی که ما n=2 دریافت کردیم، پس 4 β² = 1 و بنابراین ما دریافت می کنیم β = 1/2 ±. قبل از گرفتن مقدار برای βما باید بدانیم که منظور از عادی سازی چیست. عادی کردن یک تابع موج به این معنی است که ما باید شکل دقیقی پیدا کنیم که اطمینان حاصل کند که احتمال یافتن ذره در جایی در فضا 1 است.. این به ما می گوید که ذره باید جایی باشد. این به این معنی است که از نظر فنی از نظر حل برای یک موضوع ثابت با محدودیت فوق، احتمال برابر با 1 است.

اکنون همانطور که می دانید اهمیت عادی سازی را می دانید بنابراین بر اساس آن می توانیم مقدار را انتخاب کنیم β. انتخاب β =+1/2 فاجعه آمیز خواهد بود زیرا منجر به حل مجانبی می شود ψ(ξ) ~ یک اکسپ(ξ‌/2) که عادی سازی آن غیرممکن است. بلکه اگر تصمیم بگیریم β =–1/2 سپس می‌توانیم آن را نرمال کنیم زیرا چیزی به مقدار یک عدد منفی همیشه متناهی خواهد بود و به بی‌نهایت تمایل ندارد، بنابراین همیشه فرصتی برای بدست آوردن یک مقدار وجود دارد.. اگر موافق نیستید خودتان امتحان کنید!!!

بنابراین، به این ترتیب ما در نهایت راه حل مجانبی خود را برای SE پتانسیل QHO پیدا کردیم،

ψ(ξ) ~ یک اکسپ(–ξ²/2) (7)

و بخاطر داشته باش ξ —>±∞.

معادله 7 تنها راه حل ممکن برای معادله 3 است که می تواند معادله 2 را برآورده کند یا به عبارت دیگر کاهش معادله SE بدون بعد برای پتانسیل QHO، چه زمانی ξ —>±∞. این فقط یک راه حل جزئی است، همانطور که قبلاً نوشتم، ما هنوز وظیفه فرمول کردن یک معادله تعمیم یافته برای تابع موج را داریم. این کار در مقاله بعدی انجام خواهد شد.

مقاله بعدی من در مورد راه حل سری پتانسیل هارمونیک (قسمت 4 از این سری مقاله) که در ادامه مقاله ای در مورد چند جمله ای های هرمیت و توابع موج نوسان ساز هارمونیک کوانتومی (بخش پنجم از این سری مقالات). پس از آپلود، لینک در اینجا آپلود خواهد شد.

ممنون که خواندید!!!