در آخرین مقاله ای که در مورد آن نوشتم قضیه متعامد که یک پیش نیاز ضروری برای درک ریاضیات پشت برهم نهی کوانتومی است. در کنار این، درک متن زیر نیازمند محاسبه قبلی با آگاهی از احتمال است از آنجایی که ممکن است آنطور که در مستندها می بینید شیک به نظر نرسد، اما اگر متن را درک کنید، قانع کننده تر است و از این جمله حمایت می کند: “واقعیت از داستان عجیب تر است”.
بنابراین، بدون بحث بیشتر، اجازه دهید به آن شیرجه بزنیم….
برای فرمول بندی اصل برهم نهی ابتدا باید در نظر بگیریم مقداری پتانسیل V(x) و برای این پتانسیل معادله شرودینگر حل شده است. این منجر به تعدادی از توابع موج می شود 🝜ᵢ(ایکس) و مال آنها مقادیر ویژه انرژی مربوطه هᵢ.
اکنون باید هر جواب جداگانه را با جمع خطی ترکیب کنیم تا تابع دیگری بسازیم 🝚(ایکس) و آن را نامیدعملکرد سوپر موج‘.
🝚(x) = 🝚ᵢ aᵢ🝜ᵢ(ایکس) (1)
اینجا، aᵢ هستند ضرایب انبساط. ضرایب انبساط، aᵢ نشان دهنده درجه ای است که تابع موج کامل دارای ویژگی e استigenfunction 🝜ᵢ.
همچنین، بر اساس قیاس، می توان گفت که ضرایب، پیش بینی های تابع موج بر روی توابع ویژه اپراتور هستند.
عادی سازی 🝚(ایکس)
در محدوده 🝜ᵢ(ایکس) ما را به سمت
🔻 (🝚ᵢ aᵢ🝜ᵢ)( 🝚ⱼ آⱼ*🝜ⱼ*) = 1 (2)
حالا اگر ادغام و جمع بدون از دست دادن کلیت در معادله 2 امکان پذیر باشد، می توانیم ترتیب را عوض کنیم. بنابراین، پس از مبادله، دریافت می کنیم
🝚ᵢ 🝚ⱼ aᵢ آⱼ* ⟨🝜ᵢ | 🝜ⱼ*⟩ = 1 (3)
در اینجا، پس از تنظیم مجدد، توابع موج برای i و j با نماد دیراک نشان داده می شوند. اگر در مورد قضیه متعامد، پس باید با این نماد آشنا باشید. اگر از آن اطلاعی ندارید، به شما توصیه می کنم ابتدا آن را بخوانید و سپس ادامه دهید.
بنابراین، پس از مراحل فوق، می‌توانیم از قضیه متعامد برای ساده‌سازی رابطه 3 استفاده کنیم. همانطور که می‌دانیم، ⟨🝜ᵢ | 🝜ⱼ*⟩ را می توان ساده کرد .^او. دوباره از قضیه متعامد، می دانیم که .^
او فقط زمانی 1 است که i=j. برای همه شرایط دیگر 0 است. aᵢ aᵢ* = aᵢ².
بنابراین اکنون معادله 3 ما به این تغییر می یابد،
🝚ᵢ aᵢ² = 1 (4)
حال باید مقدار مورد انتظار را محاسبه کنیم 🝚(ایکس)
برای بررسی بیشتر ما…
⟨ه⟩ = 🔻 🝚(ساعت 🝚*)dx = 🔻(🝚ᵢ aᵢ🝜ᵢ){ ساعت 🝚ⱼ آⱼ*🝜ⱼ*} dx (5)
در اینجا ما استفاده کردیم
عملگر همیلتونی، از آنجایی که معادله مقدار انتظار کلی به یک عملگر نیاز دارد و در مورد انتظار انرژی، عملگر همیلتونی (H) است..
همچنین، از فیزیک کوانتوم پایه، ما می دانیم
H(🝜ᵢ) = هᵢ 🝜ᵢ (6)
⟨ه⟩ = 🔻{ (🝚ᵢ aᵢ🝜ᵢ)( 🝚ⱼ هⱼ
آⱼ*🝜ⱼ*) } dx
باز هم، ما باید همان روشی را که برای کاهش معادله انجام دادیم دنبال کنیم. (2) به معادله (3)
⟨ه⟩ = 🝚ᵢ 🝚ⱼ هⱼ aᵢ aᵢ* ⟨🝜ᵢ | 🝜ⱼ*⟩
و با قضیه تعامد،
⟨ه⟩ = 🝚ᵢ هᵢ aᵢ² (7)
بنابراین، از معادله 7 می فهمیم که
مقدار انرژی مورد انتظار برای حالت برهم نهی صرفاً مجموع وزنی انرژی های هر انرژی است و در مجذور ضرایب انبساط ضرب می شود (عوامل وزنی).
وجود دارد دو اصل اساسی مکانیک کوانتومی و بر اساس این فرضیه ها می توانیم قضیه برهم نهی را فرموله کنیم. آنها به شرح زیر است:
1) اگر یک سیستم می تواند در هر یک از حالت های ویژه متمایز باشد 🝜ᵢ، سپس می تواند در حالت برهم نهی نیز باشد که در رابطه 1 توضیح داده شده است.
لازم نیست سیستم در وضعیت خودش باشد و ممکن است متفاوت باشد.
2) وقتی کسی جلو می رود اندازه گیری برای تعیین وضعیت سیستمسپس تابع ابر موج یا حالت برهم نهی (🝚) در یکی از حالت های ویژه فرو می ریزد 🝜ᵢ. برای پیدا کردن احتمال سیستم در ایالت 🝜ᵢ
می تواند باشد محاسبه شده از استفاده كردن aᵢ². به همین دلیل است که می توانید ببینید معادله 4 دارای مقدار 1 است پسندیدن مجموع همه احتمالات همیشه 1 است.
در مقالات بعدی من با آن آشنا خواهید شد فرمول بندی ساختار ریاضی تئوری های پیشرفته مانند اغتشاشات و روش های تنوع. این نظریه ها هستند مبنای روش های تقریب که در استفاده می شوند مکانیک کوانتومی.
پس فراموش نکن مشترک شوید و وب سایت ما را دنبال کنید (دکمه ها در نوار کناری سمت راست موجود هستند) و fمایل به زرد من در شبکه های اجتماعی برای به روز رسانی….
ممنون که خواندید!!!
پست های دیگر وبلاگ من را نیز بررسی کنید!!!
فراموش نکنید که این پست را در شبکه های اجتماعی خود به اشتراک بگذارید تا دانش همه را غنی کنید!!!
همچنین برای آخرین به روز رسانی پست های من به من بپیوندید توییتر
– Ratnadeep Das Choudhury
بنیانگذار و نویسنده The Dynamic Frequency
